SEBA NCERT text book Solutions for Class 10 mathematics Chapter 3 Pair of
Linear Equations in Two Variables Exercise 3.2 | class 10 math solution in
Assamese medium.
দশমান শ্ৰেণীৰ গণিতৰ তৃতীয় অধ্যায় অনুশীলনী 3.2 সমাধানবোৰ অতি সুন্দৰ ভাবে কৰি কৰিবলৈ যত্ন কৰিছো । দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ পাঠটিৰ সমাধানবোৰ কৰিলো ।
Pair of Linear Equations Two Variables
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (তৃতীয় অধ্যায় ) অনুশীলনী 3.2 ( Exercise 3.2) দশম শ্ৰেণী সাধাৰণ গণিত | ইয়াত আমি এই অনুশীলনীৰ সমস্যাবোৰ অতি সহজতে সমাধান কৰিবলৈ যত্ন কৰিছো |
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
SEBA board NCERT textbook
solutions for class 10 math’s chapter 3 Pair
of Linear Equations in Two Variables
SEBA Board Class 10 Maths Textbook Solution
Pair of Linear Equations in Two Variables
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যাৰ
Exercise 3.2 (অনুশীলনী 3.2)
1. তলৰ সমস্যাবোৰ ৰৈখিক সমকীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা –
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ- ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্ৰহণ কৰিছিল যদি ছদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা বেছি, তেন্তে অংশ গ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা ।
সমাধান:
ধৰোঁ,
ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = x জনী
ছাত্ৰৰ সংখ্যা = y জন
প্ৰশ্নমতে,
x + y = 10 ….. (1)
আৰু x = y + 4
= x – y = 4 ….. (2)
∴ নিৰ্ণয় ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো হ’ল
x + y = 10 আৰু x – y = 4
(1) ৰ পৰা
Y = 10 – x
(2) ৰ পৰা
-y = 4 – x
⇒ - y = 4 + x
⇒ y = - 4 + x
অংকণ প্ৰণালী:
ধৰোঁ, XOX’ আৰু YOY’ ক্ৰমে -X আৰু -Y অক্ষ দুডালে পৰস্পৰ O বিন্দুত লম্বভাবে ছেদ কৰিছে
এতিয়া লেখ কাগজৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ
ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গক্ষেত্ৰৰ এটা ঘৰক 1 একক হিচাপত ধৰি (1) নং সমীকৰণৰ তালিকাৰ পৰা
পোৱা, A(0,10) আৰু B (10,0) বিন্দুকেইটা লেখ কাগজত
সংস্হাপন কৰি বিন্দুকেইটাৰ মাজেদি যোৱাকৈ AB লেখ ডাল পোৱা গ’ল । ঠিক সেইদৰে
একে অক্ষ আৰু একে একক ব্যৱহাৰ কৰি (2) নং সমীকৰণৰ তালিকাৰ পোৱা C (0,-4) আৰু D(4,0) বিন্দুকেইটা একেখন লেখ
কাগজত সংস্হাপন কৰি বিন্দুকেইটাৰ মাজেদি যোৱাকৈ CD লেখডাল পোৱা গ’ল ।
M ৰ পৰা X অক্ষৰ MQ ওপৰত লম্ব টনা হ’ল
দেখাগ'ল যে,
x = MQ = 7
y = MQ = 3
∴ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 7 জনী
∴ছাত্ৰৰ সংখ্যা = 3 জন
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা । এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা –
সমাধান:
ধৰোঁ,
এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = x টকা
এটা পেনৰ দাম = y টকা
প্ৰশ্নমতে,
5x + 7y = 50
……. (1)
আৰু 7x + 5y = 46 …… (2)
(1) ৰ পৰা
7y = 50 - 5x
(2)ৰ পৰা
5y = 46 – 7x
অংকণ প্ৰণালী:
ধৰোঁ, XOX’ আৰু YOY’ ক্ৰমে -X আৰু -Y অক্ষ দুডালে পৰস্পৰ O বিন্দুত লম্বভাবে ছেদ কৰিছে
এতিয়া লেখ কাগজৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ
ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গক্ষেত্ৰৰ এটা ঘৰক 1 একক হিচাপত ধৰি (1) নং সমীকৰণৰ তালিকাৰ পৰা
পোৱা, A(10,0) আৰু B (3,5) বিন্দুকেইটা লেখ কাগজত
সংস্হাপন কৰি বিন্দুকেইটাৰ মাজেদি যোৱাকৈ AB লেখ ডাল পোৱা গ’ল । ঠিক সেইদৰে একে অক্ষ আৰু
একে একক ব্যৱহাৰ কৰি (2) নং সমীকৰণৰ তালিকাৰ পোৱা C (3,5) আৰু D(8,-2) বিন্দুকেইটা একেখন লেখ কাগজত
সংস্হাপন কৰি বিন্দুকেইটাৰ মাজেদি যোৱাকৈ CD লেখডাল পোৱা গ’ল ।
দেখা গ’ল যে,
OQ = x = 3
PQ = y = 5
∴ এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = 3 টকা
এটা পেনৰ দাম = 5 টকা
সমীকৰণৰ যোৰকেইটা বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা
বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তাৰাল হ’ব নে লগ লগা, তাক নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y - 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x
+ 6y + 24 = 0
(iii) 6x - 3y +10 = 0
2x
– y + 9 = 0
সমাধান:
(i) 5x – 4y + 8 = 0……. (1)
7x + 6y - 9 = 0……. (2)
সমীকৰণ নং (1) সমীকৰণ নং (2) ক ক্ৰমে a1x + b1y + c1 = 0 আৰু a2x+ b2y + c2 = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 5 b1 = - 4 c1 = 8
a2 = 7 b2 = 6 c2 = - 9
সমীকৰণ নং ক্ৰমে (3) আৰ (4) ৰ পৰা,
∴ 5x –
4y + 8 = 0 আৰু 7x + 6y - 9
= 0 ৰৈখিক সমকীৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই পৰস্পৰে কটাকটি কৰিব ।
(ii) 9x + 3y + 12 = 0…… (1)
18x + 6y + 24 = 0….. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক সমীকৰণ নং (2) ক ক্ৰমে
a1x + b1y + c1 = 0 আৰু a2x + b2y c2 = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 9 b1
= 3 c1
= 12
a2
= 18 b2 = 6 c2 = 24
(3), (4) আৰু (5)ৰ পৰা,
∴ 9x +
3y + 12 = 0 আৰু 18x +
6y + 24 = 0ৰৈখিক সমকীৰণৰ যোৰকেইটাই বুজৱা ৰেখা দুটাই মিলি যাব ।
(iii) 6x - 3y +10 = 0….. (1)
2x – y + 9 = 0 ……… (2)
সমীকৰণ নং (1) ক সমীকৰণ
নং (2) ক ক্ৰমে
a1x + b1y + c1
= 0 আৰু a2x + b2y c2 = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি
পাওঁ,
a1
= 6, b1
= -3, c1 = 10
a2 = 2, b2 = - 1, c2 = 9
(3), (4) আৰু (5)ৰ পৰা
∴ 6x - 3y +10 = 0আৰু 2x – y + 9 = 0 ৰৈখিক সমকীৰণৰ যোৰকেইটাই বুজৱা ৰেখা দুটাই সমান্তৰাল হ'ব ।
ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত।
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = - 22
সমাধান:
(i) 3x + 2y - 5 = 0 ….. (1)
2x –
3y - 7 = 0 ….. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x +
b2y c2 = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 3 b1 = 2 c1
= -5
a2 = 2 b2
= - 3 c2 = -7
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা,
∴ 3x +
2y = 5 আৰু 2x – 3y = 7 ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰটো সংগত ।
(ii) 2x – 3y- 8 = 0..... (1)
4x – 6y - 9 = 0....... (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x +
b2y c2 = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 2 b1
= -3 c1 = - 8
a2 = 4 b2 = -6 c2 = - 9
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা,
∴ 2x – 3y = 8 আৰু 4x – 6y = 9 ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত ।
9x – 10y - 14 = 0 ….. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 3/2 b1
= 5/3 c1 = - 7
a2
= 9 b2
= - 10 c2
= - 14
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা,
∴ 3/2x + 5/3y = 7 আৰু 9x – 10y = 14 ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰটো সংগত ।
- 10x + 6y + 22 = 0….. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1 = 5,
b1 = - 3, c1 = - 11
a2 = - 10, b2 = 6, c2 = 22
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা ,
∴ 5x – 3y = 11 আৰু - 10x + 6y = -22 ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত ।
2x + 3y - 12 = 0 ...… (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1 = 4/3, b1 = 2, c1 = - 8
a2 = 2, b2 = 3, c2 = - 12
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা
∴ 4/3x + 2y = 8 আৰু 2x + 3y = 12 ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰটো সংগত ।
4. তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰ সংগত/ অসংগত ? যদি সংগত লেখৰ সহায়ত সমাধান উলিওৱা ।
(i)
x + y = 5; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y - 6 = 0; 4x - 2y – 4 =
0
(iv) 2x – 2y -2 = ; 4x – 4y - 5 =
0
সমাধান:
(i) x + y – 5 = 0 ……… … (1)
2x + 2y - 10 = 0 ………. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y + c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 1, b1
= 1, c1 = -5
a2
= 2, b2 = 2, c2
= -10
এতিয়া,
(3), (4) আৰু (5) ৰ পৰা
∴ x + y = 5 আৰু 2x + 2y = 10 ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত ।
আকৈ,
সমীকৰণ নং (1)পৰা
y = 5 - x
সমীকৰণ নং (2)পৰা
2y = 10 – 2x
অংকণ প্ৰণালী:
ধৰোঁ, XOX’ আৰু YOY’ ক ক্ৰমে -X অক্ষ আৰু -Y অক্ষই পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদ কৰিছে । এতিয়া লেখ কাগজৰ প্ৰতিটো ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গক্ষেত্ৰ 1 টা ঘৰক 1
একক হিচাপে ধৰি (1) নং সমীকৰণৰ পৰা পোৱা (3,2) আৰু (2,3) বিন্দুকেইটা
সংস্হাপন কৰি SD ৰেখাডাল পোৱা গ’ল । ঠিক সেইদৰে একেখন
লেখকাজত একে একক আৰু একে অক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণ নং (2) ৰ পৰা পোৱা (4,1) আৰু (5,0) বিন্দু সংস্হাপন কৰি SD লেখডাল পোৱা গ’ল ।
দেখাগ’ল যে, y = 5 – x ৰ দ্বাৰা উলিওৱা সমাধান, যত X ৰ এটা যিকোনো মান লব পাৰি। অৰ্থ্যাৎ ইয়াৰ অসীম সংখ্যক
সমাধান আছে ।
(ii) X – y = 8 ………….. (1)
3x – 3y = 16 ……...(2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 1, b1
= -1, c1 = - 8
a2 = 3, b2
= -3, c2
= - 16
এতিয়া,
(3),(4) আৰু (5) ৰ পৰা,
∴ x – y = 8 আৰু 3x – 3y = 16 ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰটো অসংগত ।
(iii) 2x + y - 6 = 0…………… (1)
4x – 2y - 4 = 0 ……….…..(2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 2, b1
= 1, c1 = - 6
a2 = 4, b2 = -2, c2 = - 4
এতিয়া,
(3) আৰু (4) ৰ পৰা,
∴ 2x + y – 6 = 0 আৰু 4x – 2y – 4 = 0
ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত ।
আকৈ,
সমীকৰণ নং (1)পৰা
y = 6 – 2x
সমীকৰণ নং (2)পৰা
- 2y = 4 – 4x
অংকণ প্ৰণালী:
ধৰোঁ, XOX’ আৰু YOY’ ক ক্ৰমে – x অক্ষ আৰু – y অক্ষই পৰস্পৰ 0 বিন্দুত ছেদ কৰিছে । এতিয়া লেখ
কাগজৰ প্ৰতিটো ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গক্ষেত্ৰ 1 টা ঘৰক 1 একক হিচাপে ধৰি 1 নং সমীকৰণৰ পৰা পোৱা
(1,4) আৰু (2,2) বিন্দুকেইটা সংস্হাপন কৰি PQ ৰেখাডাল পোৱা গ’ল । ঠিক সেইদৰে একেখন লেখকাজত একে একক আৰু একে অক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণ নং (2) ৰ
পৰা পোৱা (1,0) আৰু (2,2) বিন্দু সংস্হাপন কৰি SD লেখডাল পোৱা গ’ল ।
দেখগ’ল যে, PQ আৰু SD লেখ দুডালে C বিন্দুত
ছেদ কৰিছে।
∴ C বিন্দুৰ
স্হানাংক = (2,2)
∴ নিৰ্ণয় সমাধান x = 2
y = 2
(iv) 2x – 2y – 2 = 0…….…. (1)
4x – 4y - 5 = 0 …....…. (2)
সমীকৰণ নং (1) ক a1x +
b1y + c1 = 0 আৰু সমীকৰণ নং (2) a2x + b2y + c2
= 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a1
= 2, b1
= - 2, c1 = -2
a2
= 4, b2 = - 4, c2 = - 5
এতিয়া,
(3),(4) আৰু (5) ৰ পৰা,
∴ 2x - 2y – 2= 0 আৰু 4x – 4y – 5 = 0
ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত ।
5.
এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্হতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি।
ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ বাগিচাখনৰ দীঘ , প্ৰস্হ নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান
ধৰোঁ,
আয়তাকাৰ বাগিচাখনৰ দীঘ = x মিটাৰ
আয়তাকাৰ বাগিচাখনৰ প্ৰস্হ = y মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে,
⇒ x + y = 36 ………… (1)
আৰু y = x + 4
⇒ x – y = - 4 ……………(2)
(1) – (2) ⇒ 2y = 40
∴ y = 20
y ৰ মা (1)ত বহুৱাই পাওঁ,
x + 20 = 36
⇒ x = 36 – 20
∴ x = 16
∴ নিৰ্ণয় বাগিচাখনৰ দীঘ = 16
প্ৰস্হ = 20 মিটাৰ
6. 2x + 3y – 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে
। দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সলমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এইদৰে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ
যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্ৰদৰ্শন হব –
(i) কটাকটি ৰেখা ।
(ii) সমান্তাৰাল ৰেখা
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা ।
সমাধান
(i)
X + 3y -10 = 0
(ii)
4 x + 6y -9 = 0
(iii)
4 x + 6y - 16 = 0
7. x – y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y – 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অকংণ কৰা ।এই ৰেখাই দুটাই অক্ষৰ লগত কৰা ত্ৰিভূজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুকেইটাৰ স্হানাংক উলিওৱা । ত্ৰিভূজীয় ক্ষেত্ৰটো প্ৰছাদিত কৰা ।
সমাধান
x – y + 1 = 0
……. (1)
3x + 2y – 12 = 0………… (2)
(1)
ৰ পৰা
-
y = - x -1
⇒ - y = - x – 1
∴ y = x + 1
(2)
ৰ পৰা
2y = - 3x + 12
অকংণ প্ৰণালী:
ধৰোঁ, XOX’ আৰু YOY’ ক ক্ৰমে
x - অক্ষ আৰু y - অক্ষই পৰস্পৰ O বিন্দুত কাটিছে। এতিয়া লেখ কাগজৰ
প্ৰতিটো ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গক্ষেত্ৰ এটা ঘৰক 1 একক হিচাপে ধৰি 1 নং সমীকৰণৰ পৰা পোৱা
(1,2) আৰু (2,3) বিন্দুকেইটা সংস্হাপন কৰি SD ৰেখাডাল পোৱা গ’ল ।ঠিক সেইদৰে একেখন
লেখকাজত একে একক আৰু একে অক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণ নং (2) ৰ পৰা পোৱা (4,0) আৰু (2,3) বিন্দু
সংস্হাপন কৰি CP লেখডাল অকংণ কৰা হ’ল।
দেখাগ’ল যে, SD আৰু CP ৰেখাডালে x অক্ষৰ ওপৰত ∆DEV ৰ গঠন কৰা হৈছে।
∴ ত্ৰিভূজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু কেইটা হ’ল (-1, 0), (4, 0) আৰু (2,3)
Published by Abhiman Das
****************