NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Exercise 4.4 Assamese Medium
class 10 maths chapter 4 assamese medium
দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ সমাধানঃ চতুৰ্থ অধ্যায় দ্ধিঘাত সমীকৰণ । অনুশীলনী 4.4
Exercise 4.4 (অনুশীলনী 4.4)
1.
তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে, তেন্তে সেইবোৰ
উলিওৱা ।
(i)
2x2 – 3x + 5 = 0
(ii)
3x2 - 4√3x + 4 = 0
(iii)
2x2 – 6x + 3 = 0
(iv)
9x2 – 6x + 1 = 0
(v)
3x2 - 5x + 12 = 0
(vi)
x2 + x + 1 = 0
(vii)
x2 - 2√2x – 9= 0
সমাধানঃ
(i)
2x2 – 3x + 5 = 0
2x2 – 3x + 5 =
0
সমীকৰণক ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 2 , b
= -3 , c = 5
∴
b2 – 4ac = (-3)2 – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= - 31∠
0
∴ 2x2 – 3x + 5
= 0 দ্বিঘাত
সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাই ।
(ii)
3x2 - 4√3x + 4 = 0
সমাধানঃ
3x2 - 4√3x + 4 = 0 সমীকৰণক ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a
= 3 , b
= - 4√3 , c = 4
∴ b2 - 4ac = (-
4√3)2 – 4 × 3 × 4
= 16 × 3 – 48
= 48 – 48
= 0
∴ 3x2 - 4√3x + 4 = 0 ৰ দুটা সমান বাস্তৱ
মূল আছে ।
অৰ্থাৎ,
(iii)
2x2 – 6x + 3 = 0
সমাধানঃ
2x2 – 6x + 3 =
0 সমীকৰণক
ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 2 , b
= - 6, c = 3
∴ b2 - 4ac = (-6)2 –
4 × 2 × 3
=
36 – 24
= 12>0
∴ 2x2 – 6x + 3 = 0 ৰ দুটা স্পষ্ট (ভিন্ন) বাস্তৱ মূল আছে ।
(iv)
9x2 – 6x + 1 = 0
সমাধানঃ
9x2 – 6x + 1 = 0
∴ 9x2 – 6x + 1
= 0 সমীকৰণক
ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 9, b = -6, c = 1
∴ b2 - 4ac = (-6)2
- 4 × 9 × 1
= 36 – 36
= 0
∴ প্ৰদক্ত সমীকৰণৰ
দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকিব ।
অৰ্থাৎ,
(v)
3x2 - 5x + 12 = 0
সমাধানঃ
3x2 - 5x
+ 12 = 0
∴ 3x2 - 5x + 12 = 0 সমীকৰণক ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 3, b = - 5, c = 12
∴ b2 - 4ac = (-
5)2 - 4.3.12
= 25 – 144
= – 119<0
∴ x2 - 5x + 12 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাই ।
(vi)
x2 + x + 1 = 0
সমাধানঃ
x2 + x + 1 = 0
∴ x2 + x + 1 =
0 সমীকৰণক
ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 1, b = 1, c = 1
∴ b2 - 4ac = 12
– 4. 1. 1
= 1 – 4
= - 3
দেখা গ’ল যে,
b2
- 4ac < 0
∴ x2 + x + 1 =
0 ৰ কোনো মূল নাই ।
(vii)
x2 - 2√2x – 9= 0
সমাধানঃ
x2 - 2√2x – 9= 0
∴ x2 - 2√2x –
9= 0 সমীকৰণক
ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
অৰ্থাৎ,
a = 1, b = -2√2, c = - 9
∴ b2 - 4ac = (-2√2)2
– 4.1. (- 9)
= 8 + 36
= 44 >0
∴ x2
- 2√2x – 9 = 0 ৰ দুটা স্পষ্ট (ভিন্ন) বাস্তৱ মূল আছে ।
গতিকে, দ্ধিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি,
∴ নিৰ্ণয় মূল x =
√2+√11, √2-√11
যদি প্ৰশ্নটো এনেদৰে হয়
x2 + 2√3x
– 9= 0
সমাধানঃ
x2 + 2√3x – 9= 0
∴ x2 + 2√3x –
9= 0 সমীকৰণক
ax2
+ by + c = 0 ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ,
অৰ্থাৎ,
a = 1, b = 2√3, c = - 9
∴ b2 - 4ac = (2√3)2
– 4.1. (- 9)
= 12 + 36
= 48 >0
∴ x2
+ 2√3x – 9 = 0 ৰ দুটা স্পষ্ট (ভিন্ন) বাস্তৱ মূল আছে ।
গতিকে, দ্ধিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি,
∴ নিৰ্ণয় মূল x
= -3√3,√3
2.
তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত k ৰ মান
উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ
দুটাকৈ (সমান) বাস্তৱ মূল থাকে।
(i)
2x2 + kx + 3 = 0
(ii)
kx (x - 2) + 6 = 0
(iii)
x2 – (k + 4)x + 2k + 5 = 0
(iv)
2x2 + 8x – k3 = 0
(v)
(k – 2 )x2 + 6x + 9 = 0
(vi) (k - 12)x2 + 2 (k - 12)x + 2 = 0
সমাধানঃ
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
2x2 + kx + 3 = 0 ক
ax2
+ by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 2, b = k , c = 3
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2
– 4ac = 0 হব
⇒ k2 – 4 × 2 ×
3= 0
⇒ k2 – 24 = 0
⇒ k2 = 24
∴ k = ±
√24
∴ নিৰ্ণয় k = ± 2√6
(ii)
kx (x - 2) + 6 = 0
kx(x - 2) + 6 = 0 ক ax2
+ by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
A = k, b = -2k, c = 6
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2
– 4ac = 0 হব
⇒(-2k)2 – 4 × k
× 6 =0
⇒
4k2 – 24k = 0
⇒
4k (k - 6) = 0
⇒ k –
6 = 0
∴ k = 6
∴ নিৰ্ণয়k = 6
(iii)
x2 – (k + 4)x + 2k + 5 = 0
x2 – (k + 4)x + 2k + 5 = 0 ক
ax2
+ by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a
= 1, b = - (k + 4) , c
= 2k + 5
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2
– 4ac = 0 হব
⇒ - (k
+ 4)2 - 4 × 1 × (2k + 5) = 0
⇒ (- k)2 + 2 .
(-k)(-4) + (- 4)2 – 8k – 20 = 0
⇒ k2 + 8k + 16
– 8k – 20 = 0
⇒ k2 – 4 = 0
⇒k2 = 4
⇒k = ± 2
(iv)
2x2 + 8x – k3 = 0
2x2 + 8x – k3
= 0 ক
ax2
+ by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 2, b = 8 , c
= - k3
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2 – 4ac = 0 হব
(v)
(k – 2 )x2 + 6x + 9 = 0
(k – 2 )x2 + 6x + 9 = 0 ক
ax2
+ by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a = k - 2, b = 6 , c
= 9
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2 – 4ac = 0 হব
∴ নিৰ্ণয় k = 3
(vi)
(k -
12)x2 + 2 (k - 12)x + 2 = 0
(k - 12)x2 + 2
(k - 12)x + 2 = 0 ক ax2 + by + c =
0 ৰ
তুলনা কৰি পাওঁ,
a = k - 12, b = 2 (k - 12) , c
= 2
যিহেতু প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱমূল থাকে
।
∴ b2
– 4ac = 0 হব
⇒ { 2 (k - 12)}2
– 4 . (k - 12) × 2 = 0
⇒ 4 (k - 12)2
- 8 (k - 12) = 0
⇒ 4 (k - 12) {(k - 12) – 2
} = 0
⇒ 4 (k - 12) (k – 12 - 2)
= 0
⇒ (k - 12) (k - 14) = 0/4
⇒ (k – 12) (k – 14 ) = 0
এতিয়া,
K
– 12 = 0 আৰু k – 14 = 0
⇒ k = 12 আৰু ⇒ k = 14
ইয়াত k= 12 সম্ভৱ নহয় ।
∴ নিৰ্ণয় k
= 14
3.
প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তত
কৰাটো সম্ভৱ হ’বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গমিটাৰ হয় ? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ
আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ,
আমাৰ বাগিছাখনৰ প্ৰস্থ =
x মি
∴ আমাৰ বাগিছাখনৰ দৈৰ্ঘ্য = 2x মি
প্ৰশ্নমতে,
2x2 = 800
∴ x = 20 = 20, - 20
যিহেতু আয়তৰ জোখ ঋণত্মক নহয়
∴ x
= - 2 0 ক বাদ দিয়া হল
∴ আমাৰ বাগিছাখনৰ প্ৰস্থ = 20মি
∴ আমাৰ বাগিছাখনৰ দৈৰ্ঘ্য =
(2 × 20)
= 40 মি
4.
তলৰ পৰিস্থিটো সমিভৱ হয়নে ? যদি হয়, তেওঁলোকৰ
বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা ।দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ । চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ
বয়সৰ পূৰফল (বছৰত) আছিল 48 ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ,
প্ৰথম
বন্ধুৰ বয়স = x বছৰ
∴ আনজন বন্ধুৰ বয়স = (20 – x) বছৰ
4 বছৰ আগতে,
প্ৰথম বন্ধুৰ বয়স = (x – 4) বছৰ
দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স = 20 – x – 4
= (16 – x) বছৰ
প্ৰশ্নমতে,
(x
- 4)(16
- x) = 48
⇒ 16x
– x2 – 64 + 4x = 48
⇒ x2 – 20x +
112 = 0
∴ x2 – 20x +
112 = 0 সমীকৰণটোত ax2 + by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a = 1,
b = - 20 c = 112
∴ b2 – 4ac = (-20)2
– 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= - 48 ∠ 0
∴ উক্ত পৰিস্থিটো
সম্ভৱ নহয় ।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বৰ্গমিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱ হয়নে ? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ, উদ্যানখনৰ
দৈৰ্ঘ্য =
x মি
দিয়া আছে পৰিসীমা =
80মি
∴ প্ৰস্থ = (40 – x) মি
প্ৰশ্নমতে,
কালি ⇒ x (40 - x) = 400
⇒ 40x – x2
= 400
⇒ x2 – 40x + 400 = 0
∴ x2 – 40x +
400 = 0 সমীকৰণটোত ax2 + by + c = 0 ৰ তুলনা কৰি পাওঁ,
a
= 1, b = - 40 c = 400
∴ b2 – 4ac = (-40)2
– 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600
= 0 = 0
∴ উক্ত পৰিস্থিটো
সম্ভৱ হয় ।
এতিয়া,
x2 – 40x + 400 = 0
⇒ x2 – 20x – 20x + 400 = 0
⇒ x (x - 20) – 20 (x – 20) = 0
⇒ (x -
20) (x - 20) = 0
⇒ x – 20 = 0 আৰু x
– 20 = 0
∴ x =
20 ∴ x = 20
∴ নিৰ্ণয় দৈৰ্ঘ্য = 20
প্ৰস্থ = 20
Published By Abhiman Das
Class 10 Maths Assamese Medium questions Answer
Class 10 Assamese medium All Book solutions in Assamese Medium. Class 10 Mathematics soutions in Assamese Medium. Class 10 Mathematics Chapter 4 solution in Assamese Medium Class 10 Maths Assamese Medium.
